ある行列\(A\)に対し、\(A^*\)のように、行列\(A\)の右上に\(*\)が付く事があります。
これは、\(A\)の随伴行列を表しています。
ここでは、随伴行列について説明します。
場合によっては、\(A^*\)が共役行列を表す場合もあります。これについては最後に触れます。
随伴行列(ずいはんぎょうれつ)
ある行列\(A\)に対し、\(A^*\)は、
\(A=(a_{ij})\)とすると、
\(A^*=( \overline{a_{ji}}) \)
と表すことができます。
添え字の\(i,j\)の順序が逆になっていることを見逃さないでください、つまり転置しています。
バー記号\(\overline{ }\)は、複素共役を表す記号です。
まとめると、随伴行列は、各成分を複素共役にして転置した行列の事です。
随伴行列の例
\[ A = \begin{pmatrix} 1+2i & 2 & 3 \\ 4+5i & -5i & 6-i \end{pmatrix} \]
とすると、
この行列\(A\)の随伴行列は、
\[ A^* = \begin{pmatrix} 1-2i & 4-5i \\ 2 & 5i \\ 3 & 6+i \end{pmatrix} \]
となります。
随伴行列\(A^*\)の読み方
\(A^*\)の読み方は、「エースター」、または、「エーアスタリスク（エーアステリクス）」と読むのが普通ですが、これにこだわらず、読みやすい読み方（呼び方）を使って問題ないです。
例えば、「エーホシ」でも、「エーノズイハン」でもよいというわけです。
それぞれ愛着のある呼び方をすればよいと思います。
ちなみに、私は、「エーアスタリスク」（略する時は「エーアスター」）と呼んでいます。
随伴行列の別名(英語)
随伴行列(adjugate matrix)は他にもいろいろな呼び方があります。
- 共役転置行列(Conjugate transpose matrix)
- 転置共役行列(Transpose conjugate matrix)
- エルミート転置行列(Hermitian transposematrix)
- エルミート共役行列(Hermitian conjugate matrix)
- エルミート随伴行列(Hermitian adjoint matrix)
「エルミート」というのは、人の名前です。
例えば「エルミート転置」のように行列(matrix)部分などを省略して呼ぶこともありますが、「エルミート行列」と省略するのはやめてください。
通常エルミート行列とは、\(A=A^*\)の性質を持つ特別な行列\(A\)のことを指すからです。
\(A^*\)が共役行列を表す場合
流儀によって、\(A^*\)が共役行列の意味で使われることもあります。
この流儀では、随伴行列を\(A^†\)で表すことが多いです。
†記号は、ダガー記号(短剣記号)と呼ばれるものです。+(プラス記号)やt(転置記号)と似ているので注意が必要です。
数学では記号の定義がしっかりしていれば、どのような記号の使い方をしても問題にならないのですが、実際にはいろいろな慣習に基づいて記号は使われます。
よく使われるパターンを下記の表で示します。
通常は、大文字のアルファベットで行列を表します。
| (数学系)流儀 | (物理系)流儀 | |
| 行列 | \(A\) | \(A\) |
| 共役 | \(\overline{A}\) | \(A^*\) |
| 転置 | \({}^tA\) | \({}^tA\) |
| 随伴 | \(A^*\) | \(A^†\) |
転置行列ですが、\({}^tA\)以外にも、
- \(A^t\)
- \(A^T\)
- \(A^⊤\)
- \(A^\prime \)
などいろいろなバリエーションがあります。これらは、どちらの流儀でも使われます。
