無限大と無限小について

無限大と無限小についての取り扱いを書いています。

今後に備えて、超準解析の知識を拝借します。

数とは何か で、数の特徴として比較ができることを挙げました。

比較とは、すなわち大小関係のことです。

ここで自然数を考えます。

二つの自然数を適当にもってくると、その二つの自然数の大きさを比較すると、

「同じである」か、「どちらかが小さくてもう片方が大きい」という関係があります。

これが比較できると言う事です

最大に大きい数つまり無限大は存在しない

自然数(もしくは実数)の集合を考えた時、この集合に最大値は存在しません。

これが定説です。

理由は簡単です。

もし最大の自然数(実数)があったとして、それをMとしたとき、M+1を考えることができて、そしてM+1はMより大きくなってしまい、Mが最大であることに反します。

ですから、最大に大きい自然数(実数)は存在しないわけです。

しかし、どういうわけか、無限大という、ありとあらゆる自然数より大きい数を考えたくなります。

数の集合を考えたとき、数が大小関係を持つのなら、最大の数がなんなのかという問題が生まれます。

有限集合の場合には、最大の数が存在しますが、これが無限集合となると最大の数がない場合が生じてしまうのです。

人間は有限の中で物事を考えますから、有限の世界で当たり前のことを無限の中でも考えたくなるものです。

集合というある枠組みを考えたということは、その集合を含むより広い世界を考えていることになります。その広い世界でみると、集合はただの一塊です。つまり有界です。

ですから、その一塊を押さえ込むなんらかの存在を必要とするのです。

無限大のことを数と書きましたが、これは数ではありません。

強いて言うなら上限の一つが無限大です。

もっとも自然数に上限は存在しませんから、上限という言葉も不適切です。

しかし、自然数を含んだもっと大きな数の集合を考え、その中で自然数の上限を考えることはできます。

その上限は自然数ではありませんから、自然数と関係をもたせていくのなら、自然数と無限大の演算をどうしたらよいのかは、考察していく必要があります。

また、そのような自然数の上限となる数が一つとすべきなのか、複数みとめてもよいのかという問題も発生します。

自然数の上限が複数あるとするのなら、それらの上限の中で最大なものは何かという問題が生まれ、さらに大きな無限大が必要になってきます。

絶対無限というともかく最大であるだけの存在である無限大を考えるヒトもいます。

そのような概念が悪いとは思いませんが、どう取り扱ったら良いのかわからないので実際のところ絶対無限という概念は、使い道がよくわかりません。もしかしたら、数学の領域を超えた哲学、神学のテーマとしてはよいのかもしれません。

数学の領域で考えるとして、絶対無限に、「ありとあらゆるものを超越した存在」という以外にどんな意味を持たせたら良いのでしょうか。

よく数学で∞という記号があたかも、最大の自然数（もしくは最大の数）の意味で使われてるような錯覚を覚えることがありますが、これは本当に錯覚で、数学で∞を最大の自然数（もしくは最大の実数）という意味で使われてる事はありません。

なぜなら、最大の自然数は存在しないからです。

無限小も存在しない

同様に、今度は実数の話になりますが、正の実数で最小の実数というのも存在しません。

これも最大の自然数が存在しないのと同じ理屈です。

最小の実数が存在して、それをdとしたとき、d/2を考えると、それはdよりも小さな正の実数となるからです。

ですから、無限小という実数は存在していません。

しかし、微分積分学では、あたかも無限小といった実数とはいわずとも、そのような数があるかのごとく議論されている錯覚を覚えます。

しかし、よくよく調べてみると、高校で習うの微分積分学では、無限小といった数の存在を避けて論理展開されていることがわかります。

さて、数の概念を拡大することによって、無限小という数を考えることはできるのでしょうか？

超準解析という解析学ではその問題に真正面から取り組んでいます。

つまり、無限小という数を作り、その数の体系の中で解析学と類似のことを研究しています。

無限小を数として取り込んた解析はいろいろなアプローチがありますが、現在では、ロビンソンの超実数を使った数の体系が最も強力な論理展開をしていると思います。

超実数、つまり実数と無限小を含んだ数、の構築は集合論の難しい部分から始まるので、取っつきにくいのです。

しかし、キースラーの記した解析学のテキストでは、微分積分を学んだ高校生の基礎知識があれば、読み進めることができます。

無限小を、もっとも直感的に論理展開しているのは、H.ジェローム キースラーが示した無限小解析ではないかと思います。

キースラーの無限小解析のテキストはネットで公開され、なんと無償で参照することができるようになっています（書籍化もされているようです）。

参考資料

超実数という用語について

ここの説明がわかりやすいのでリンクしています。

いろいろな超実数がありますが、単に超実数というと、ロビンソンが作った超実数のことをさします。超現実数についてもかるく触れられています。

超準解析(wikipedia)

超準解析の定番日本語テキスト（無限小解析の基礎―微積分の新手法）

日本語テキストは少なく、なかなか入手困難なテキストです。
時々Amazonで入手可能になることがあります。