メガ実数の標準部分、無限小部分、無限大部分

メガ実数は、標準部分、無限小部分、無限大部分に分割されます。

定義

aをメガ実数とします。

aの指数0の係数をaの標準部分(Standard part)と言います。

aの中で、指数が正のメガ単子全体の結合をaの無限小部分(Infinitesimal part)といいます。

aの中で、指数が負のメガ単子全体の結合をaの無限大部分(Infinity part)と言います。

aの標準部分をst(a)で表します。

aの無限小部分をpl(a)で表します。

aの無限大部分をmi(a)で表します。

\(a=mi(a)+st(a)+pl(a)\)となります。

例1

\(a=(1\#-2)+(2\#-1)+3+4\#1+5\#2\)とすると、

\(pl(a)=4\#1+5\#2\)

\(st(a)=3\)

\(mi(a)=(1\#-2)+(2\#-1)\)

となります。

例2

aが該当指数のメガ単子を持たない場合は、0のメガ単子を使います。

\(a=2\#1+3\#2\)とすると、

\(pl(a)=2\#1+3\#2\)

\(st(a)=0\)

\(mi(a)=0\)

となります。

標準部分、無限小部分、無限大部分の性質

標準部分、無限小部分、無限大部分に関する性質がすぐに示せます。

\(st(a+b)=st(a)+st(b)\)

特に、st(a)=st(b)ならst(a-b)=0=st(a)-st(b)が成立する。

\(pl(a+b)=pl(a)+pl(b)\)

特に、pl(a)=pl(b)ならpl(a-b)=0=pl(a)-pl(b)が成立する。

\(mi(a+b)=mi(a)+mi(b)\)

特に、mi(a)=mi(b)ならmi(a-b)=0=mi(a)-mi(b)が成立する。

\(st(st(a))=st(a),st(pl(a))=st(mi(a))=0\)

\(pl(pl(a))=pl(a),pl(mi(a))=pl(st(a))=0\)

\(mi(mi(a))=mi(a),mi(pl(a))=mi(st(a))=0\)

st(x)はメガ実数から実数への関数、pl(x),mi(x)はメガ実数からメガ実数への関数とみなすことができます。

有限メガ実数

無限大部分が0のメガ実数を有限メガ実数といいます。

すなわち、\(a\)が有限メガ実数であるとは、

\(mi(a)=0\)であることと同値です。

用語は、基本的に超実数(hyperreal number)に準じていますが、いつも意味が同じとは限りません。

例えば、メガ実数では移行原理(Transfer principle)を採用していません。これによって、関数の値や極限などに関する用語は、意味が全然異なります(似ている部分もあります)。

a,bが有限メガ実数の場合

a,bをメガ実数体R#Rの有限メガ実数とする。

ab=st(a)st(b)+pl(a)pl(b)

st(ab)=st(a)st(b)

pl(ab)=pl(a)pl(b)

mi(ab)=0

特に、\(n\)が自然数,\(k\)が実数なら、

\(\mathrm{st}(ka^n)=k (\mathrm{st}(a))^n\)

a<bとすると、st(a)≦st(b)

コメント

タイトルとURLをコピーしました