それぞれの無限大の扱い

いろいろな無限大や無限小の考え方を示しました。

ここで、ωをどの実数よりもも大きい要素とします。

ω+1や、ω+ωなどをどのように考えているのか示します。

ここでは、実数体をRで表します。

R∪{-∞,∞}でのω

ωに該当するのは、∞です。

厳密には、ω+1もω+ωもここでは存在しません。

しかし、そこを強制して消去法から考えると、

ω+1は∞、すなわちωになると考えます。

ω+ωも同様にωと考えます。

リーマン面R∪{∞}でのω

リーマン面(ここでは1次元なのでリーマン線?)でωに該当するのは、∞です。

リーマン面でも、ωは、R∪{-∞,∞}と同様の扱いです。

すなわち、ω+1はω、ω+ωはωです。

超実数(hyperreal number)でのω

超実数体では、ωに該当する超実数が無限個数存在します。

そのなかの一つをωとすると、ω+1はωと異なる超実数です。

またω+ωもωと異なる超実数で、2ωと同じになります。

超実数体は体ですので、演算に関しても普通の実数と同様の扱いが可能です。

超現実数(surreal number))でのω

現実数でのωは特殊です。ある日突然発生します。

そのある日がいつくるのか謎です(永遠に来ないのではないかと危惧している)。

ω+1は演算できて、ω+1で表されます。

ω+ωも同様です。

R[ε]/(ε2)でのω

無限小拡大環には、ωに相当する元が存在しません。

それに相当するものもありません。

p進数体、付値体(valued field))でのω

大きさの定義が通常と異なるため、どの元をωにするのか悩ましいです。

p進数体は、1も含んだ体ですので、ω+1やω+ωも普通に定義され存在します。

ただp=2の場合は特殊なことが起こっています(要考察)。

メガ実数(megareal number)でのω

メガ実数の定義については、下記を参照してください。

超実数と同じように、ω+1、ω+ωもωとは別の無限大として計算されます。

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