5のx乗の微分は？

ここでは、５のｘ乗をｘで微分するとどうなるのか考えます。

関数5のx乗の微分

問題

\(\displaystyle f(x)=5^x\)

を\(x\)で微分せよ

微分の公式と、指数関数の変形の知識が必要です。

\(\displaystyle x^5\)の微分と混同しないように注意します。

公式

\(\displaystyle e^x\)の微分公式
\(\displaystyle (e^x)’=e^x\)

公式

指数変形公式
\(\displaystyle a=e^{\log{a}}\) より　\(\displaystyle 5=e^{\log{5}}\)

合成関数の微分公式

合成関数の微分公式
\(\displaystyle g(h(x))の微分は、g’(h(x)) h'(x)\)

合成関数

\(\displaystyle g(x)=e^x と h(x)=(\log{5})x\)の
合成関数\(\displaystyle g(h(x))\)は、
\(\displaystyle e^{(\log{5})x}\)である。

\(\displaystyle f(x)=5^x\)
\(\displaystyle 　= e^{ (\log{5})x }\)

なので

\(\displaystyle f'(x)= (\log{5}) e^{ (\log{5})x }\)

\(\displaystyle 　= (\log{5}) 5^x \)

です。

このページで使用しているlogは自然対数（底はネイピア数e）です。

\(\displaystyle x^5\)の微分は、\(\displaystyle 5 x^4\)ですが、それは解答ではありません。

\(\displaystyle f(x)=5^x\)は指数関数ですので指数関数の微分公式を使って解きます。