部分積分の公式を適用するパターン

部分積分の公式は見た目がややこしく、いったいどんな時に使えばよいのかわかりにくいと思います。

実際いろんなパターンで部分積分の公式は使えるのですが、どんな時にそれをどう適用したらいのかを具体的に示します。

部分積分の公式

まずは、部分積分の公式です。実に覚えにくい公式ですが暗記する必要があります。いろいろな覚え方があるかもしれませんが、私は何度も暗唱して覚えました。

部分積分の公式
\[ \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) dx\]

これをみればわかる通り、部分積分は積分したい関数を二つの関数の積にわける必要があります。この公式でいくと、\( f(x) , g'(x) \)の部分になります。

なにを\(f(x)、g'(x)\)にするかですが、一番典型的なのは、

\[f(x)\text{の部分は、}x^n\text{形式}\\ g’(x) \text{の部分は、}\\ g(x) \text{がわかる(積分できる)関数}\]
です。
\(g'(x)\)の部分は、\(g(x)\)がわかる関数という意味なので、公式では\(g'(x)\)と関数にダッシュがついているのですね。妙な形をしている部分積分の公式ですが、微分を表すダッシュの位置もなんとなくついているわけではないのです。

さて、この典型的な部分積分のパターンですが、例で説明した方がわかりやすいので例で説明します。

その前に、ちょっと蛇足ですが、部分積分という公式の名前について説明します。といっても私の勝手な解釈ですが。

部分積分というのは、積分したい関数を二つの関数の積に分解して積分する公式のことですが、その二つの関数のうち片側(つまり部分)だけを積分するので部分積分と呼ぶわけですね。

典型的な部分積分の使い方の例

問題

\[ \int x^2 e^x dx\]
を求めよ

積分の中の関数をみると\[ x^2 e^x\]になっていますね。

\( f(x)\)の部分:\(x^n\)形式
 \(g'(x)\)の部分:\(g(x)\)がわかる関数

に(積で)分解すると、

\(f(x)=x^2\\g'(x)=e^x\)

です。

\(e^x\)は公式があるのですぐに積分できますね。

部分積分を使いたい場合には、このように二つの \(f(x),g'(x)\)をうまく見つけることがポイントです。

公式などがあって積分ができる関数に\(x,x^2,x^3,…\)が掛けてある関数の場合には、部分積分で積分できます。

このパターンは慣れればすぐに見つかります。

それでは、例の問題に部分積分の公式を適用してみます。

ただ、この例題の場合、\(x^2\)が掛けられていますから、部分積分の公式を2回使わなければなりません。\(f(x)\)の部分が\(x^n\)の形の場合に部分積分の公式が使えますが、xの指数部分のn回繰り返して使うことになります。

解答

\[ \int x^2 e^x dx \\ =x^2 e^x – \int (2x) e^x dx \\ =x^2 e^x – \left( 2x e^x – \int 2 e^x dx \right) \\ =x^2 e^x – 2x e^x + 2 e^x + C \\ =(x^2-2x+2)e^x+C \]

Cは積分定数

部分積分が使えるパターンのまとめ

積分したい関数が次の\(f(x)とg’(x)\)の積になっている場合、部分積分の公式が使える。

\[f(x)の部分は、x^n形式\\ g'(x)の部分は、不定積分g(x)がわかる関数\]

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