行列研究家のヨシです。
これは、ベクトル空間についてのおさらいです。
有限次元ベクトル空間は行列解析の基本設定です。
0.1.1 スカラー体
ベクトル空間の基礎となるのは、そのフィールド、つまりスカラーの集合です。
私たちの目的では、その基礎となるフィールドは通常、実数\(\mathbb{R}\) または複素数\(\mathbb{C}\) ですが、有理数、指定された素数を法とする整数、またはその他のフィールドである可能性があります。フィールドが指定されていない場合は、記号 F で表します。
フィールドとして認定するには、「加算」と「乗算」という2 つの二項演算でセットを閉じる必要があります。両方の演算は結合的かつ可換的である必要があり、それぞれの演算が集合内に単位要素を持っている必要があります。
逆数は、加算の場合はすべての要素、および乗算の場合は加算単位元を除くすべての要素の集合内に存在する必要があります。
乗算は加算よりも分配的でなければなりません。
0.1.2 ベクトル空間
体 F 上のベクトル空間 V は、結合性と可換性を備えた二項演算 (「加算」) で閉じられるオブジェクト (ベクトルと呼ばれる) の集合 V であり、単位元 (0 で示されるゼロ ベクトル) と加法に関して逆元を持ちます。
この集合は、スカラー体Fの要素によるベクトルの「スカラー乗算」の操作でも閉じています。
すべてのa、b ∈ F およびすべての x、y ∈ V に対して次の特性があります。
乗法単位元 e ∈ F の場合、
- a(x + y) = ax + ay
- (a + b)x = ax + bx
- a(bx) = (ab)x
- ex = x
指定されたフィールド F および指定された正の整数 n について、 F からのエントリを持つ n タプルの 集合\(F^n\) は、\(F^n\) のエントリごとの加算の下で \(F^n\) 上にベクトル空間を形成します。
私たちの規則では、$F^n$ の要素は常に列ベクトルとして表現されます。
私たちはそれらを
n ベクトルと呼ぶことがよくあります。特殊なケース \(\mathbb{R}^n\) と \(\mathbb{C}^n\) は、本書の基本的なベクトル空間です。 \(\mathbb{R}^n\) は実ベクトル空間 (つまり、実体上のベクトル空間) であり、\(\mathbb{C}^n\)は実ベクトル空間と複素ベクトル空間 (複素体上のベクトル空間) の両方です。
実数係数または複素係数（指定された次数以下または任意の次数）を持つ多項式の集合、および R または C のサブセットの実数値関数または複素数値関数の集合（すべて、通常の加算の概念を使用）関数や関数とスカラーの乗算など）も、実数または複素ベクトル空間の例です。
0.1.3 部分空間、スパン、および線形結合
体 F 上のベクトル空間 V の部分空間は V の部分集合であり、それ自体はV と同じベクトル加算とスカラー倍算の演算を使用した F 上のベクトル空間です。
V の部分集合は、これら 2 つの操作で閉じられるときまさに部分空間になります。
たとえば、{[a, b, 0]T : a, b ∈ R} は R3 の部分空間です。転置表記については (0.2.5) を参照してください。
部分空間の交差は常に部分空間です。
部分空間の和集合は部分空間である必要はありません。
部分集合 {0} と V は常に V の部分空間であるため、自明部分空間と呼ばれることがよくあります。 V の部分空間は、{0} と V の両方と異なる場合、自明ではないと言われます。
V の部分空間は、 V に等しくない場合、適切な部分空間であると言われます。
{0} をゼロベクトル空間と呼びます。
ベクトル空間には常にゼロ ベクトルが含まれるため、部分空間を空にすることはできません。
S が体 F 上のベクトル空間 V の部分集合である場合、スパン S は、S を含む V のすべての部分空間の共通部分です。
S が空でない場合、
スパン S = {a1 v1 + · · · + ak vk :v1 、。 。 。 、vk ∈ S、a1 、. 。 。 、ａｋ ∈ Ｆ、およびｋ＝１、２、． 。 .};
S が空の場合、それは V のすべての部分空間に含まれます。
V のすべての部分空間の交差部分は部分空間 {0} であるため、定義によりスパン S = {0} が保証されます。
S が部分空間でない場合でも、スパン S は常に部分空間であることに注意してください。
スパン S = V の場合、S は V に及ぶと言われます。
フィールド F 上のベクトル空間 V 内のベクトルの線形結合は、a1 v1 + · · · + ak vk という形式の式です。ここで、k は正の整数 a1 , … です。
。 。 、ａｋ ∈ Ｆ、および
ｖ１、． 。 。 , vk ∈ V 。
したがって、V の空ではないサブセット S のスパンは、S 内の有限個のベクトルのすべての線形結合で構成されます。
線形結合 a1 v1 + · · · + ak vk は、a1 = · · · = ak = 0 の場合は自明です。そうでなければ、それは自明ではありません。
線形結合は、定義上、ベクトル空間の有限個の要素の合計です。
S1 と S2 を体 F 上のベクトル空間の部分空間とします。S1 と S2 の合計は部分空間ですS1
+ S2 = スパン {S1 ∪ S2 } = {x + y : x ∈ S1 , y ∈ S2 }If S1 ∩ S2 = {0} の場合、S1 と S2 の合計は直接和であると言い、それをS1 ⊕ S2 と書きます。
すべての z ∈ S1 ⊕ S2 は、x ∈ S1 および y ∈ S2 を使用して z = x + y として唯一の方法で書くことができます。
0.1.4 線形依存性と線形独立性
ベクトル v1 、…、の有限リストを言う。
。 。 、体 F 上のベクトル空間 V 内の vk は、
スカラー a1 、…、がある場合にのみ線形依存します。
。 。 、ａｋ ∈ Ｆであり、ａ１ ｘ１ ＋ · · · ＋ ａｋ ｘｋ ＝ ０のように、すべてゼロではない。
したがって、ベクトルｖ１ 、． 。 。 , vk
は、v1 , . の自明でない線形結合の場合にのみ線形依存します。 。 。 、vk はゼロベクトルです。多くの場合、「v1、..v1」と言うのが便利です。 。 。 、vk は線形に依存します」というより正式なステートメントではなく、「ベクトル v1 、…、vk のリスト」です。 。 。 、vk は線形依存します。」ベクトル v1 、 . のリスト。 。 。 , vk は長さ k であると言われます。
2 つ以上のベクトルのリストは、ベクトルの 1 つが他のベクトルの一部の線形結合である場合、線形依存します。
特に、リスト内の 2 つのベクトルが同一である 2 つ以上のベクトルのリストは線形従属です。
2 つのベクトルは、一方のベクトルが他方のベクトルのスカラー倍数である場合にのみ線形依存します。
ゼロ ベクトルのみからなるリストは、a1 = 1 の場合 a1 0 = 0 であるため、線形従属になります。
ベクトル v1 , … の有限リストは、次のようになります。
。 。 、体 F 上のベクトル空間 V 内の vk は、線形従属でない場合は線形独立です。繰り返しますが、
「v1 , . .v1」と言うと便利です。 。 。 、vk は「ベクトル v1 、…、vk のリスト」ではなく「線形独立」です。 。 。 、vk は
線形独立です。」場合によっては 、単項式 1、t、t 2 、t 3 、…など、
無限に多くの要素を持つベクトルの自然なリストに遭遇することがあります。
。 。
実数係数または複素指数 1、 eit 、 e2it 、 e3it 、 を含むすべての多項式のベクトル空間。 。 。
[0, 2π ] で周期的な複素数値連続関数のベクトル空間内。
リスト内の特定のベクトル (有限または無限) が削除された場合、結果のリストは
元のリストのサブリストになります。
一部の有限サブリストが線形依存している場合、ベクトルの無限リストは線形依存していると言われます。
すべての有限部分リストが線形独立である場合、線形独立であると言われます。
ベクトルの線形独立リストのサブリストはすべて線形独立です。
線形依存サブリストを持つベクトルのリストはすべて線形依存です。
ゼロ ベクトルのみからなるリストは線形従属であるため、ゼロ ベクトルを含むベクトルのリストはすべて線形従属です。ベクトルのリストは次のようになります。
線形依存ですが、適切なサブリストは線形独立です。
(1.4.P12) を参照してください。
ベクトルの空のリストは線形依存ではないため、線形独立です。
有限集合の基数は、その (必然的に異なる) 要素の数です。
ベクトルの指定されたリスト v1 、 . 。 。 、ベクトル空間 V の集合
{v1 , . . 。 。 , vk } は、リスト内の 2 つ以上のベクトルが同一である場合に限り、k より小さくなります。
v1 の場合、 . 。 。 、 vk が線形独立である場合、集合のカーディナリティ {v1 、…、vk は次のようになります。 。 。 , vk } は k です。
ベクトルのリスト (有限であるかどうかに関係なく) の範囲は、リストの要素のセットの範囲です。
V がリストの範囲である場合、ベクトルのリストは V にまたがります。 S 内の個別のベクトル
のすべての有限リストが線形独立している場合、ベクトルの集合 S は線形独立であると言われます。 S 内の個別のベクトルの有限リストが線形依存している場合、S は線形依存していると言われます。
0.1.5基底
。スパンが V であるベクトル空間 V 内のベクトルの線形独立リストは、
V の基礎となります。
V の各要素は、唯一の方法で基底内のベクトルの線形結合として表すことができます。
何らかの要素がベースに追加または削除された場合、これは当てはまりません。
V 内のベクトルの線形独立リストは、それを適切に含むベクトルのリストが線形独立でない場合に限り、V の基礎となります。
V にまたがるベクトルのリストは、V にまたがる適切なサブリストがない場合に限り、 V の基礎となります。空のリストはゼロ ベクトル空間の基礎となります。
0.1.6 基底への拡張。
ベクトル空間V 内のベクトルの線形独立リストは、おそらく 1 つ以上の方法で V の基底まで拡張できます。
ベクトル空間は有限ではない基底を持つことができます。たとえば、単項式 1、t、t 2 、t 3 、…の無限リスト。 。 。
実係数を持つすべての多項式の実ベクトル空間の基礎です。
各多項式は、基底内の (有限個の) 要素の一意の線形結合です。
0.1.7次元
。ベクトル空間V の基底に正確に n 個のベクトルが含まれるような正の整数 n がある場合、V のすべての基底は正確に n 個のベクトルで構成されます。この
共通の基数はベクトル空間 V の次元であり、
dimV で表されます。この場合、V は有限次元です。それ以外の場合、V は無限次元になります。無限次元の場合、 任意の 2 つの基底の
要素間には 1 対 1 の対応関係があります。
実ベクトル空間 Rn の次元は n です。ベクトル空間 Cn は、
フィールド C では次元 n ですが、フィールド R では次元 2n です。 。 。 , en
の各 n ベクトル ei の i 番目のエントリが 1 で、それ以外の部分が 0 であるものは、
標準基底と呼ばれます。 「V は 、次元が n の有限次元
ベクトル空間である」の略語として、「V は n 次元ベクトル空間である」と言うのは便利です。 n 次元ベクトル空間
の部分空間はすべて
有限次元です。
それが適切な部分空間である場合、その次元は厳密に n より小さくなります。
V を有限次元ベクトル空間とし、 S1 と S2 を
V の 2 つの与えられた部分空間とする。部分空間交差補題は
dim (S1 ∩ S2 ) + dim (S1 + S2 ) = dim S1 + dim S2です。
(0.1.7.1)
この恒等式を
dim (S1 ∩ S2 ) = dim S1 + dim S2 − dim (S1 + S2 )
≥ dim S1 + dim S2 − dim Vとして書き直すと、
(0.1.7.2)
δ = dim S1 + dim S2 − dim V ≥ 1 の場合、部分空間
S1 ∩ S2 は少なくとも δ の次元を持ち、したがってそれには δ 線形独立ベクトル、
つまり S1 の基底の任意の δ 要素が含まれるという有益な事実が明らかになります。 ∩ S2 。特に、S1 ∩ S2 には非ゼロの
ベクトルが含まれます。誘導引数は、S1 , . 。 。 , Sk は V の部分空間であり、
δ = dim S1 + · · · + dim Sk − (k − 1) dim V ≥ 1 の場合、
dim (S1 ∩ · · · ∩ Sk ) ≥ δ
(0.1.7.3)
したがって、S1 ∩ · · · ∩ Sk には δ 線形独立ベクトルが含まれます。特に、ゼロ以外のベクトルが含まれています。
0.1.8 同型。 U と V が同じスカラー体 F 上のベクトル空間であり、 f : U → V がすべての x、y ∈ U
に対して f (ax + by) = af (x) + bf (y) となるような可逆関数である場合、
すべての a、b ∈ F の場合、f は同型であると言われ、U と V は
同型 (「同じ構造」) であると言われます。同じ体上の 2 つの有限次元ベクトル空間は、
同じ次元を持つ場合にのみ同型です。したがって、
F 上の n 次元ベクトル空間は Fn と同型です。したがって、任意の n 次元の実ベクトル
空間は Rn と同型であり、任意の n 次元の複素ベクトル空間は
Cn と同型です。具体的には、V が体 F 上の n 次元ベクトル空間である場合、
指定された基底 B = {x1 , . 。 。 , xn }とすると、任意の要素 x ∈ V は x = a1 x1 + · · · + an xn (各 ai ∈ F) と一意に書けるので
、n ベクトル [x]B = [a1 . 。 。蟻 。任意の基底 B について、マッピング x → [x]B は
V と Fn の間の同型写像です。
