レヴィ=チヴィタ体\(\mathcal{R}\)と\(\mathcal{C}\)

レヴィチヴィタ体は筆記体で書かれます。

Rを筆記体で書いた\(\mathcal{R}\)が実数係数のレヴィ=チヴィタ体、\(\mathcal{C}\)が複素数係数のレヴィ=チヴィタ体です。

ここでは記号の説明がメインですので、\(\mathcal{R}\)を前提に書きます。

ここでは、\(x\)や\(y\)は、 \(\mathcal{R}\) の元を表しています。

λ関数

\(\mathcal{R}\)から有理数体Qへの関数λ

x≠0に対して、λ(x)=min(supp(x))、λ(0)=+∞

で定義します。

ここで\(supp(x)=\{q|x[q]≠0\}\)は左有限(left-finite)である集合とします。

左有限集合とは、任意の有理数に対し、それより小さい元が有限個しかない集合の事です。

\(supp(x)=\{q|x[q]≠0\}\) を台集合(または単に台)といい、台集合の元を台(support)といいます。

レヴィ=チヴィタ体では、xの台集合は左有限の集合である事を仮定しているため、\(supp(x)\)は必ず存在します。

x[q]は、xの指数qでにおける係数を表します。

2項演算子 ~

\(x~y \)を、

λ(x)=λ(y)で定義します。

2項演算子 ≈

\(x≈y \)を、

λ(x)=λ(y) かつ x[λ(x)]=y[λ(y)]で定義します。

2項演算子 \(=_r\)

\(x=_r y\)を、

q ≦ rである すべてのqに対してx[q]=y[q]

で定義します。

2項演算子 > と <

\(x> y\)を、

(x-y)[λ(x-y)]>0で定義します。

さらに、

\(x<y\)を、

y>xで定義します。

で定義します。

2項演算子 ≪ と ≫

非負の\(x,y\) に対し

\(x≪ y\)を、

任意の自然数nに対して、nx<yが成立する時

として定義します。

この場合、xはyより無限に小さいと言います。

\(x≫ y\)を、\(y≪x\)で定義し、

この場合、xはyより無限に大きい と言います。

x≪1であるxを無限小といい、1≦xであるxを無限大といいます。

無限小は、無限少量または、微分とも言います。

d

x[1]=1でq≠1に対してx[q]=0であるxをdで表します。

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