レヴィ=チヴィタ体\(\mathcal{R}\)と\(\mathcal{C}\)について。
レヴィチヴィタ体は上記のように筆記体のRやCを使って書かれます。
Rを筆記体で書いた\(\mathcal{R}\)が実数係数のレヴィ=チヴィタ体、\(\mathcal{C}\)が複素数係数のレヴィ=チヴィタ体です。
ここでは記号の説明がメインですので、\(\mathcal{R}\)を前提に書きます。
ここでは、\(x\)や\(y\)は、 \(\mathcal{R}\) の元を表しています。
\(\mathcal{R}\)から有理数体\(\mathbb{Q}\)への関数λは
x≠0に対して、λ(x)=min(supp(x))、λ(0)=+∞
で定義します。
ここで\(supp(x)=\{q|x[q]≠0\}\)は左有限(left-finite)である集合とします。
左有限集合とは、任意の有理数に対し、それより小さい元が有限個しかない集合の事です。
\(supp(x)=\{q|x[q]≠0\}\) を台集合(または単に台)といい、台集合の元を台(support)といいます。
レヴィ=チヴィタ体では、xの台集合は左有限の集合である事を仮定しているため、\(supp(x)\)は必ず存在します。
x[q]は、xの指数qでにおける係数を表します。
\(x～y \)を、
λ(x)=λ(y)で定義します。
\(x≈y \)を、
λ(x)=λ(y) かつ x[λ(x)]=y[λ(y)]で定義します。
\(x=_r y\)を、
q ≦ rである すべてのｑに対してx[q]=y[q]
で定義します。
\(x> y\)を、
(x-y)[λ(x-y)]>0で定義します。
さらに、
\(x<y\)を、
y>xで定義します。
で定義します。
非負の\(x,y\) に対し
\(x≪ y\)を、
任意の自然数nに対して、nx<yが成立する時
として定義します。
この場合、xはyより無限に小さいと言います。
\(x≫ y\)を、\(y≪x\)で定義し、
この場合、xはｙより無限に大きい と言います。
x≪1であるxを無限小といい、1≦xであるxを無限大といいます。
無限小は、無限少量または、微分とも言います。
x[1]=1でq≠1に対してx[q]=0であるxをdで表します。
