\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)についてのまとめ情報です。
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)は、実二次体です。
代数体\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)
代数体\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)は、\(\mathbb{Q}\)と\(\sqrt{2}\)で生成される代数体です。
\(\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2})\\=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt{2}\\=\{a+b\sqrt{2}|a,b \in \mathbb{Q}\}\)
ガロア群
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)は、\(\mathbb{Q}\)上のガロア拡大です。
ガロア群は、位数2の巡回群です。
ガロア群を\(\{1,σ\}\)とすると、
\(σ(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}\)
となっています。
最小多項式
\(\sqrt{2}\)の最小多項式は、\(X^2-2\)です。
整数環\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)の整数環は、\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)です。
\(\{1,\sqrt{2}\}\)はこの整数環\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)の基底(整数基)です。
この整数環は、単項イディアル整域です。
判別式
\(\displaystyle D= \begin{vmatrix}1&\sqrt{2}\\ 1&-\sqrt{2}\end{vmatrix}^2=8\)
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)の判別式は\(8=2^3\)です。
素数の分解
判別式を使って素数の分解状況がわかります。
\(p\)を素数とします。
\(p=2\)の場合
素数は分岐します。
すなわち、\(2=\sqrt{2}^2\)
\(p≡1,7 (mod 8)\)の場合
素数は分解します。
すなわち、\(p=p_1p_2\)となる\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)の二つの素数\(p_1,p_2\)が存在します。
\(a^2-2b^2=±p\)が整数解\(a,b\)を持つと言い換えることもできます。
\(a^2-2b^2=17\)は、
\(a=5,b=2\)や
\(a=7,b=4\)を解に持ちます。
実は、解の組み合わせは無限にあります。
\(a^2-2b^2=23\)は、
\(a=11,b=7\)や
\(a=19,b=13\)を解に持ちます。
解の組み合わせは無限にあります。
\(p≡3,5 (mod 8)\)の場合
p≡3または5(mod8)の有理素数はこの代数体では分解しません。
すなわち、この種類のpは、\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)の中でも素数です。
単数基準
\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)の基本単数εは、\(1+\sqrt{2}\)です。
すなわち、単数群は、
\(\{x|x=±ε^n,n \in \mathbb{N}\}\)となります。
