5のx乗の微分は?

ここでは、5の\(x\)乗を\(x\)で微分するとどうなるのか考えます。

関数5のx乗の微分

問題

\(\displaystyle f(x)=5^x\)

を\(x\)で微分せよ

この問題を解くために必要な知識

微分の公式と、指数関数の変形の知識が必要です。

\(\displaystyle x^5\)の微分と混同しないように注意します。

公式

\(\displaystyle e^x\)の微分公式
\(\displaystyle (e^x)’=e^x\)

公式

指数変形公式
\(\displaystyle a=e^{\log{a}}\) より \(\displaystyle 5=e^{\log{5}}\)

合成関数の微分公式

合成関数の微分公式
\(\displaystyle g(h(x))の微分は、g’(h(x)) h'(x)\)

合成関数

\(\displaystyle g(x)=e^x と h(x)=(\log{5})x\)の
合成関数\(\displaystyle g(h(x))\)は、
\(\displaystyle e^{(\log{5})x}\)である。

解答

解答

\(\displaystyle f(x)=5^x\)
\(\displaystyle  = e^{ (\log{5})x }\)

なので

\(\displaystyle f'(x)= (\log{5}) e^{ (\log{5})x }\)

\(\displaystyle  = (\log{5}) 5^x \)

です。

解答

解答

\(\displaystyle f(x)=5^x\)
\(\displaystyle  = e^{ (\log{5})x }\)

なので

\(\displaystyle f'(x)= (\log{5}) e^{ (\log{5})x }\)

\(\displaystyle  = (\log{5}) 5^x \)

です。


このページで使用しているlogは自然対数(底はネイピア数e)です。

別解

指数関数は、対数を使って微分を求めることができます。対数関数がでてきますが、指数部分がなくなり、計算の見通しがよくなります。

別解

対数関数を使った別解

\(\displaystyle f(x)=5^x\)

の両辺の対数をとります。

\(\displaystyle \log(f(x))= \log(5^x) \)

\(\displaystyle \log(f(x))= x \log(5) \)

両辺を\(x\)で微分します。

\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}= \log{5}\)

\(\displaystyle f'(x)= (\log{5}) f(x) \)

\(\displaystyle f'(x)= (\log{5}) 5^x \)

です。

最初は、「こんなやり方で答えがでるの?」と思うやり方ですが、合成関数の公式をうまく使った方法でよく使います。

\(\log\)にして微分しても、微分が求められると覚えておくとよいです。

logの合成関数の微分公式

log合成関数の微分公式
\(\displaystyle \log(|f(x)|)の微分は、\frac{f'(x)}{f(x)}\)

ただ、\(\log\)関数は真数(\(log(x)\)の\(x\)の部分)が正でないといけないことに注意しましょう。負になる可能性がある関数でも、絶対値をとればよいです。

ここで取り扱っている問題の場合、\(5^x>0\)が成立しますので、絶対値の記号は使いませんでした。

解説

\(\displaystyle f(x)=x^5\)の場合は、\(\displaystyle f'(x)=5 x^4\)となりますが、

本題はその問題と似ていても種類の異なる別の問題です。

\(\displaystyle f(x)=5^x\)は指数関数ですので指数関数の微分公式を使って解きます。

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